SAP Memo

按你的四步框架，把修正和两个问题的答案都揉进去： #

1. 法向规则 #

我们定义了一套法向力的规则，法向力跟穿透和靠近速度有关（Kelvin–Voigt：弹簧加阻尼，隐式地用步末的穿透），本质上是一根弹簧。整理之后是：

$\hat v_n = -\phi_0/(h+\tau)$ 是法向力为 0 时的零点，它是一个门槛，不是一个状态：

• 已经穿透时，$\hat v_n > 0$：物体必须以这个速度往外退，力才为 0；
• 还有间隙时，$\hat v_n < 0$：物体只要靠近得不比这个速度快，就没有力。

$v_n < \hat v_n$ 时有推力；$v_n \ge \hat v_n$ 时没有力。SAP 里的”分离”指的是后者，也就是”这一步没有法向力”，不一定是物体在远离。

2. 理想的切向规则 #

理想情况下，摩擦力有三种情况：

• 分离：没有法向力，也就没有摩擦力；
• 滑动：摩擦力 $= \mu F_n$，方向与滑移相反；
• 粘滞：$v_t = 0$，摩擦力 $\le \mu F_n$。

所以理想情况下，摩擦力本身就像一个 projection 操作：$F_n$ 决定上界，摩擦力被限制在这个上界以内。

难点在于粘滞：这时摩擦力是一个约束力，”需要多少就给多少”，由整个系统决定，不是速度的函数。一个速度（$v_t = 0$）对应无数个可能的力，没法写成规则，也就没法优化。

3. SAP 的切向规则：用一点点滑动换来静摩擦 #

SAP 的做法是：$\gamma_t = -v_t/R_t$，$v_t$ 是相对滑动速度。通过允许一点点相对滑动，让静摩擦力”需要多少就给多少”变成由速度唯一确定。这和法向用一点点穿透换来弹簧规则是同一个套路。$R_t = \sigma w$，滑动量大约是”没有摩擦时会滑的速度”的 $\sigma$ 倍。

这样做还有一个好处：切向规则的形式和法向一样（切向取 $\hat v_t = 0$），可以统一写成

$y$ 就是投影前的冲量。然后用 $R$ 范数把 $y$ 投影到摩擦锥上，得到真正的冲量 $\gamma$。在锥里就是粘滞，被截到锥面上就是滑动，被截到锥尖就是分离。

4. 为了能优化：要对称，所以联合投影 #

如果法向和切向分开投影（先算 $F_n$，再把摩擦截到 $\mu F_n$），会发现 Jacobian $\partial\gamma/\partial v$ 不对称：滑动时摩擦上限依赖 $v_n$，但法向不依赖 $v_t$。不对称就写不成”某个凸势能的梯度”，也就没法优化。

这种耦合只在滑动时出现，因为只有滑动时摩擦被上界卡住，才依赖法向。粘滞时摩擦没达到上界，和法向无关，正向耦合为 0，反向耦合也必须为 0。分离时两者都是 0。所以耦合不是三种情况都要加，而是哪里有正向耦合，哪里才需要反向耦合。

5. 补一句：ICF / Lagged #

“能优化”的精确条件是：冲量场 $\gamma(v_c)$ 无旋（Jacobian 对称）并且单调（势能是凸的）。SAP 是通过”两边都耦合“来满足对称性。Lagged 则是”两边都不耦合“：把摩擦上界冻结成步初算好的 $\mu n_0$，法向和切向完全分开，因此不需要联合投影，也没有 gliding 伪影。代价是摩擦上界滞后一步。

gliding artifacts，到底是允许一点点相对滑动引入的，还是这个耦合引入的 #

是耦合引入的，和”允许一点点相对滑动”无关。有三个证据。

证据 1：伪影的大小和 $R_t$ 无关 #

gliding 那一项是：

$R_t$（也就是 $\sigma$）被约掉了。把 $\sigma$ 调大或调小，蠕滑会变，但 gliding 不变。即使让 $\sigma \to 0$（完全不允许滑动），它仍然存在。没有正则化的刚体 Anitescu 凸近似，同样有这个伪影。

证据 2：它只在滑动时出现，而滑动时正则化根本不起作用 #

滑动时 $\gamma_t = -\mu\gamma_n\hat v_t$，和 $R_t$ 无关，正则化在这里已经”失效”了。”允许一点点滑动”只在粘滞时起作用，而粘滞时 $\gamma = y$，没有任何耦合，也就没有 gliding。

证据 3：Lagged 有同样的正则化，却没有 gliding #

Lagged 的摩擦在原点处的刚度也是 $1/(\sigma w)$，”允许一点点滑动”的程度和 SAP 完全相同。但它把摩擦上界冻结成了 $\mu n_0$，没有联合投影，也就没有反向耦合，因此没有 gliding。

两个伪影各管各的 #

需要澄清的一点是：之前说”正则化让切向和法向形式统一，所以可以用 $R$ 范数联合投影”。这说的是正则化让联合投影写得出来，但 gliding 不是正则化造成的。真正造成 gliding 的，是”为了对称而让法向依赖 $v_t$”这个选择本身。

最核心最核心的一定要让摩擦力和切向速度联系在一起的原因是啥 #

最核心的原因只有一个：SAP 选择了只把速度当作未知量。

一句话 #

SAP 把一个时间步写成：

未知量只有 $v$。力不是未知量，而是 $v$ 的函数 $\gamma(v_c)$。既然力必须由速度算出来，摩擦力也就必须是切向速度的函数。

为什么理想的静摩擦做不到这一点 #

理想静摩擦是：$v_t = 0$，摩擦力可以是 $[-\mu F_n, \mu F_n]$ 中的任意值。

在 $v_t = 0$ 这一点上，一个速度对应无数个力。它不是函数，所以：

• 给定速度 $v$，算不出唯一的 $\gamma$，Newton 法的每一步都没法计算；
• 也写不出光滑的势能 $\ell$，因为 $\ell$ 在那里有尖角，没有 Hessian。

用 $\gamma_t = -v_t/R_t$ 代替它，把”一个点对应一整段力”换成”一条很陡的直线”，就变成了函数。

不这样做的话，替代方案是什么 #

代价是：

• 变成带约束的问题，要么不光滑，要么需要 active set、内点法这类更复杂的方法；
• 刚性静摩擦的解可能不唯一（比如四条腿的桌子，每条腿分担多少摩擦是不确定的）。

SAP 的取舍是：接受一点点蠕滑，换来一个只关于速度的、无约束、光滑、严格凸的问题，可以直接用 Newton 法求解，而且解唯一。

所以”摩擦力必须和切向速度联系起来”不是物理上的要求，而是”只解速度“这个求解方式上的要求。法向也是一样：用弹簧代替刚性的”不穿透”约束，同样是为了让法向力成为速度的函数。

primal和dual优化指的是什么？ #

这两个词说的是选哪个量作为未知量：

• Primal（原问题）：未知量是速度 $v$；
• Dual（对偶问题）：未知量是冲量 $\gamma$。

两者描述的是同一个物理问题，最优解对应同一个状态，只是从两个方向去解。

Primal：解速度（SAP 的做法） #

• 未知量的个数 = 自由度数；
• 没有约束。摩擦锥藏在 $\gamma(v_c)$ 这个函数里，通过投影来处理；
• 冲量是速度的函数，所以静摩擦必须正则化成速度的函数（上一个问题的答案）；
• Newton 法的矩阵是 $M + \sum_i J_i^\top G_i J_i$。它的稀疏结构和 $M$ 一样，沿运动学树分布。

Dual：解冲量 #

从动量方程把速度消掉：$v = v^* + M^{-1}J^\top\gamma$，所以接触速度是：

Delassus 算子 $W$ 在这里登场了。代入后，问题变成：

• 未知量的个数 = 3 × 接触数；
• 有约束：$\gamma$ 必须在摩擦锥里；
• 冲量本身就是未知量，静摩擦可以直接当约束处理，原则上不需要正则化。但加上 $R$ 可以保证 $W + R$ 正定，从而解唯一。否则接触有冗余时（比如四条腿的桌子），$W$ 是奇异的，冲量不唯一；
• 矩阵 $W + R$ 需要 $M^{-1}$，而且只要两个接触在同一个物体或同一条链上，它们之间就有耦合，所以通常比较稠密。

可以验证：对这个 dual 问题写出最优性条件，得到的正是”$\gamma$ 是 $y = R^{-1}(\hat v - v_c)$ 在 $R$ 范数下到 $\mathcal F$ 的投影”，也就是 SAP 的投影规则。两个问题互为 Fenchel 对偶，正则化 $R$ 在两边是同一个东西。

对比 #

和你在对齐的 MuJoCo 的关系 #

MuJoCo 两种都有：Newton 和 CG 求解器在 primal 空间（加速度）里工作，PGS 在 dual 空间（约束力）里工作。它也有正则化 $R$，作用和 SAP 的 $R$ 一样。SAP 和 MuJoCo 默认的 Newton 求解器都是 primal 的，所以它们的结构很像。这也是我们能把刚体场景对齐到 MuJoCo Warp 的原因之一。

法向力模型 #

法向力用线性 Kelvin–Voigt 模型，并且取步末的穿透量：

我现在有点迷糊，我们一点点来，线性 Kelvin–Voigt 模型是啥

Kelvin–Voigt 模型是什么 #

它就是一根弹簧和一个阻尼器并联：

      ┌──/\/\/\/──┐   弹簧 k
  ────┤           ├────
      └───[ | ]───┘   阻尼 c

两个元件的伸缩量相同，所以力直接相加：

其中 $\delta$ 是压缩量。弹簧项和压缩量成正比，阻尼项和压缩速度成正比。”线性”指的是两项都是一次的。Drake 里还有非线性的 Hunt–Crossley 模型，那是另一回事。

习惯上会把阻尼写成 $c = k\tau$：

$\tau = c/k$ 的单位是秒，就是图里的 dissipation time scale。它表示阻尼和弹簧的相对强弱：$\tau = 0$ 是纯弹簧，碰撞后会完全弹回；$\tau$ 越大，能量耗散越多。

法向冲量形式 #

好，接着做下一步：把力变成冲量，再整理成 $R_n^{-1}(\hat v_n - v_n)$ 的形式。

第一步：力乘以 $h$，得到冲量 #

求解器解的是速度，动量方程里用的是冲量（力 × 时间），所以：

第二步：把 $(h+\tau)$ 提出来 #

这就是：

为什么是除h+tau，tau这个不是当时法向力里面和速度耦合的吗 #

回到这个式子：

括号里有两项都乘着 $v_n$：

• $h\,v_n$ 来自隐式离散化：这一步走完，位置变了 $h v_n$；
• $\tau\,v_n$ 来自阻尼器：速度本身产生的阻尼力。

合起来，$v_n$ 的系数就是 $(h+\tau)$。$\hat v_n$ 的定义是”力为零时的速度”，也就是解方程：

所以除以 $(h+\tau)$ 并没有引入新的物理，只是求这个线性函数的零点。系数是什么就除以什么。$\tau$ 之所以在分母里，恰恰是因为它和 $v_n$ 耦合。

推出法向力和法向冲量之后，怎么体现摩擦问题优化的？ #

第一步：只有法向的一维例子 #

一个质量为 $m$ 的方块落向地面。没有接触力时，它这一步的速度会是 $v^*$。

动量方程：

Kelvin–Voigt 推出来的法向冲量（只推不拉，所以有个 $\max$）：

这两条联立，就能解出 $v$。现在换个角度，定义一个势能：

对它求导，正好是 $\ell’(v) = -\gamma_n(v)$。于是考虑这个优化问题：

令导数为零：

这就是动量方程。 所以”解动量方程”和”求这个函数的最小值”是同一件事。而且这个函数是凸的（两项都是凸的），所以最小值唯一，可以用 Newton 法求。

第二步：加上摩擦，$\max$ 变成了锥投影 #

一维时，”只推不拉”就是一个 $\max(0,\cdot)$。它其实就是把 $y_n$ 投影到集合 ${\gamma_n \ge 0}$ 上。

锥投影就是 $\max(0,\cdot)$ 的三维版本。 摩擦就是通过这一步进入问题的：它决定了 $\gamma_t$ 怎样被截断，同时也决定了 $\ell$ 的形状。而选 $R$ 范数，就是为了让最后一行的梯度关系在三维时依然成立。

第三步：整个系统 #

多个接触、多个自由度时，接触速度是 $v_{c,i} = J_i v$，问题变成：

用链式法则求梯度，令其为零：

这还是动量方程：广义动量的变化等于所有接触冲量（通过 $J^\top$ 搬回广义坐标）之和。

所以有两层”优化” #

1. 内层（每个接触各自做，有闭式解）：给定 $v_c$，在 $R$ 范数下把 $y$ 投影到锥上，得到 $\gamma$。这一步编码了摩擦的物理：粘滞、滑动、分离三种情况。
2. 外层（全局，用 Newton 法）：对整体速度 $v$ 最小化上面的总代价。每次 Newton 迭代都要调用内层来得到 $\gamma_i$ 和它的导数 $G_i = -\partial\gamma_i/\partial v_c$，然后解：

所以，Kelvin–Voigt 给出的是法向的物理，正则化给出的是切向的物理，锥投影把两者拼在一起并加上 Coulomb 限制。最后，”$\nabla\ell = -\gamma$”这个性质把它们变成了一个可以用 Newton 法求解的凸优化问题。

到底什么是“在 $R$ 范数下投影到 $\mathcal F$” #

我们一个词一个词来，最后用一组具体数字算一遍。

1. “投影”：在集合里找离某个点最近的点 #

给定一个点 $y$ 和一个集合 $\mathcal F$：

• 如果 $y$ 在 $\mathcal F$ 里，投影就是 $y$ 自己；
• 如果不在，就在 $\mathcal F$ 里找一个离 $y$ 最近的点。

最简单的例子是投影到半直线 ${\gamma_n \ge 0}$ 上：$y_n = 3$ 就还是 3，$y_n = -2$ 最近的点是 0。结果就是 $\max(0, y_n)$。

2. “$\mathcal F$”：摩擦锥 #

$\mathcal F = {\gamma : |\gamma_t| \le \mu\gamma_n}$，就是所有物理上允许的冲量：法向只能推，摩擦不能超过 $\mu$ 倍法向。为了画图，只看一个切向方向，它就是一个 V 字形区域：

       γ_n
        ↑
   ╲    │    ╱
    ╲ 𝓕 │   ╱      边界：|γ_t| = μ γ_n
     ╲  │  ╱
      ╲ │ ╱
───────╲│╱────────→ γ_t

3. “在 $R$ 范数下”：用什么尺子量”最近” #

“最近”取决于怎么量距离。

欧氏距离：$d^2 = \Delta\gamma_t^2 + \Delta\gamma_n^2$。到 $y$ 等距离的点组成圆。

$R$ 范数：$d^2 = R_t\,\Delta\gamma_t^2 + R_n\,\Delta\gamma_n^2$。到 $y$ 等距离的点组成椭圆。$R_t$ 很小，所以椭圆沿 $\gamma_t$ 方向拉得很长：在切向走很远，距离才增加一点点；在法向稍微动一下，距离就增加很多。

投影的几何做法：以 y 为中心画等距离曲线，慢慢放大，第一次碰到锥的那个点就是投影结果 γ。

  欧氏：圆                        R 范数：扁椭圆
       γ_n                             γ_n
        ↑     ╱                         ↑     ╱
        │    ╱  ●γ                      │    ╱
        │   ╱ ╱  ╲                      │   ╱
        │  ╱ (  ×y )                  ──│●─(─────×y─────)
        │ ╱                             │╱γ
────────┼──────────→ γ_t       ─────────┼──────────→ γ_t
   圆往斜上方碰到锥边                 椭圆横着拉长，几乎水平地碰到锥边
   → γ_n 被抬高很多                    → γ_n 几乎不变，只砍了 γ_t

4. 算一组数字 #

取 $\mu = 0.5$，$R_t = 0.01$，$R_n = 1$，试探冲量 $y = (y_t, y_n) = (4,\ 1)$。检查：$\lvert y_t\rvert = 4 > \mu y_n = 0.5$，在锥外面，需要投影。

欧氏投影：

法向冲量从 1 变成了 2.4。只因为物体在滑，法向力就翻了一倍多，物理上说不通。

$R$ 范数投影（$\tilde\mu = \mu R_t/R_n = 0.005$）：

法向几乎没变，摩擦从 4 被截到了 0.509，正好落在锥边上，就是 Coulomb 滑动摩擦。

5. 为什么 $R$ 范数这把尺子是对的 #

$y_t = 4$ 之所以这么大，是因为 $y_t = -v_t/R_t$，而 $R_t$ 被人为地设得很小（极硬的粘性摩擦）。所以这个大数字只是正则化”放大”出来的，并不是一个真实的物理需求。

$R$ 把冲量换算回速度：切向改动 $\Delta\gamma_t$，对应的速度只变 $R_t\Delta\gamma_t$，很小；法向改动 $\Delta\gamma_n$，对应的速度变 $R_n\Delta\gamma_n$，很大。$R$ 范数 $\Delta\gamma^\top R\,\Delta\gamma$ 的单位是”冲量 × 速度”，也就是能量。所以：

在 $R$ 范数下投影 = 找一个物理上允许的冲量，使它和试探冲量之间的”能量差”最小。

这个能量差会按每个方向各自的刚度来衡量，而不是把不同刚度放大出来的数字直接放在一起比较。

写成公式就是图里 (26) 式的左半边：

此外还有上一节说的数学上的好处：用这把尺子，才能保证 $\nabla_{v_c}\ell = -\gamma$，从而把整个时间步变成一个凸优化问题。

y是不是就是投影前的gamma #

对，可以这么理解。$y$ 就是投影前的冲量：

它是在不管摩擦锥限制的情况下，只按弹簧阻尼（法向）和粘性摩擦（切向）算出来的冲量。投影之后才是真正用的冲量：

• 粘滞时，$y$ 本来就在锥里，$\gamma = y$，两者相同；
• 滑动时，$\gamma$ 是 $y$ 被截到锥面上的结果；
• 分离时，$\gamma = 0$。

有一点要注意：$y$ 和 $\gamma$ 都依赖于当前的接触速度 $v_c$，不是固定不变的数。Newton 法每迭代一次，$v$ 就会变，$v_c = Jv$ 跟着变，$y$ 要重新算，然后再投影得到新的 $\gamma$。代码里也是这样：_eval_contact_point 每次调用都先由 vc 算出 y，再投影得到 gamma。

所以准确地说，$y$ 是”在当前速度猜测下，投影前的冲量“。

还是没懂 #

还是没懂，首先我在优化一个系统，一个包含frictional contact考量的系统，会有个未知的速度变量让我求解。然后我定义了法向冲量的规则，我能通过这个速度变量得到法向冲量。同时，我是不是也应该有一套规则，直接从速度变量算出切向冲量。但这个时候，我需要去检查，法向冲量和切向冲量耦合在一起是不是在摩擦锥里。

对，你的理解完全正确。我按你的思路把它整理成一个流程，再补上最后一块。

你说的流程 #

给定速度变量的当前值 $v$，先算接触速度 $v_c = Jv$，然后：

1. 法向规则（Kelvin–Voigt）：从速度直接算出法向冲量

2. 切向规则（粘性摩擦）：从速度直接算出切向冲量

3. 检查：两者合在一起，$(y_t, y_n)$ 在不在摩擦锥里？

这三步就是你说的。$y$ 就是这两条规则直接算出来的结果，还没经过检查。

你缺的是第 4 步：检查不通过怎么办 #

4. 修正：

• 检查通过（$

  y_t

  \le \mu y_n$）：两条规则的结果都合法，直接用，$\gamma = y$。这时切向冲量确实就是粘性规则给出的，而这个粘性规则极硬，所以物体几乎不滑。这种情况起了个名字叫”粘滞”。

• 检查不通过：要把它修正成锥里的某个点。投影就是”怎么修正”的规则：找锥里离 $y$ 最近（$R$ 范数）的点。结果是摩擦被截到 $\mu\gamma_n$（滑动），或者全部为零（分离）。法向也可能被顺带微调一点。

所以，1 到 4 合起来，就是一个完整的函数：

输入速度，输出一个保证在锥里的冲量。

容易混淆的一点：检查不是优化问题的约束 #

你可能会以为”摩擦锥”是加在优化问题上的一个约束，即优化器要在满足锥约束的前提下去找 $v$。不是这样的。

检查和修正都发生在冲量函数的内部。不管优化器试的是什么 $v$，这个函数吐出来的 $\gamma$ 永远在锥里，因为它已经被投影过了。所以优化器本身没有任何约束：

它只管找一个 $v$，使得动量方程 $M(v - v^*) = \sum_i J_i^\top\gamma_i(J_i v)$ 成立。这就是 SAP 名字里 “Unconstrained” 的意思：锥的限制被藏进了 $\gamma(v_c)$ 这个函数，而不是作为优化问题的约束出现。

切向规则是怎么定义出来的 #

切向规则不是从物理推出来的，而是人为选的。法向规则有物理来源（弹簧阻尼），切向没有。下面说明它是怎么被”选”出来的。

1. 想要的东西写不成函数 #

我们需要一条”从速度算出切向冲量”的规则，也就是一个函数 $\gamma_t = g(v_t)$。

真实的静摩擦是：$v_t = 0$，冲量可以是 $[-\mu\gamma_n, \mu\gamma_n]$ 里的任意值。在 $v_t = 0$ 这一点上，一个速度对应无数个冲量，它不是函数。所以没法直接用。

2. 那就选一个最简单的、近似它的函数 #

最简单的选择是一条过原点、很陡的直线：

这相当于在切向加了一个阻尼器，阻尼系数 $c_t$ 很大：$f_t = -c_t v_t$，乘以 $h$ 得到冲量，于是 $R_t = 1/(h c_t)$。只要 $R_t$ 足够小，不滑就需要很大的冲量，所以 $v_t$ 会非常接近 0，这样就近似了 $v_t = 0$。

3. 为什么正好是这个形式 #

关键是要和法向规则长得一样。法向是：

切向写成同样的形式，取 $\hat v_t = 0$（切向没有弹簧，没有”想回去的位置”，目标就是不滑）：

于是三个方向可以统一写成：

这样统一的好处是：后面的投影（在 $R$ 范数下）、代价 $\ell = \tfrac12\gamma^\top R\gamma$，以及 $\nabla\ell = -\gamma$ 这个性质，都可以对三个方向一起成立。如果切向选了别的形状（比如 Lagged 那种光滑曲线），就要换一套构造方法。

4. 最后定 $R_t$ 的大小 #

这是唯一需要权衡的地方：

• 太大：蠕滑明显，抓不住东西；
• 太小：条件数差，Newton 和 PCG 难收敛。

选 $R_t = \sigma w$，让蠕滑比例固定为约 $\sigma$，条件数固定为 $1/\sigma$，与物体轻重无关。这就是前面讲过的内容。

总结：切向规则 = “用一个极硬的线性阻尼器近似静摩擦”。选线性，是为了和法向统一成 $R^{-1}(\hat v - v_c)$；选 $\hat v_t = 0$，是因为目标就是不滑；选 $R_t = \sigma w$，是为了在蠕滑和条件数之间取得一个与尺度无关的折中。

MuJoCo 其实也是同样的思路：它在每个约束方向（包括摩擦方向）上都加了一个正则化项 $R$。SAP 的这套构造和它是一脉相承的。

这两个速度是怎么回到摩擦锥的 #

先澄清一点：摩擦锥在冲量空间里，不在速度空间里。速度本身不需要”回到锥里”，需要在锥里的是冲量。

速度是怎么变成锥里的冲量的 #

分两步：

第一步：两条规则把速度换成冲量（这一步还不管锥）

第二步：在冲量空间里检查、投影

所以，”回到锥里”的是 $y$（投影前的冲量），而不是速度。速度只是输入。

反过来看：三种情况在速度空间里长什么样 #

把 $y$ 的定义代进三个区域的判断条件，就能直接用速度来写。

粘滞：$\lvert y_t \rvert \le \mu y_n$ \(\frac{\lvert v_t\rvert}{R_t} \le \mu\frac{\hat v_n - v_n}{R_n} \quad\Longrightarrow\quad \|v_t\| \le \hat\mu\,(\hat v_n - v_n),\qquad \hat\mu = \mu\frac{R_t}{R_n}\) $\hat\mu$ 很小，所以粘滞时滑移速度必须非常小，和法向压得多紧成正比。

分离：$y_n + \hat\mu,\lvert y_t\rvert \le 0$ \(\frac{\hat v_n - v_n}{R_n} + \mu\frac{R_t}{R_n}\cdot\frac{\|v_t\|}{R_t} \le 0 \quad\Longrightarrow\quad v_n - \hat v_n \ge \mu\,\|v_t\|\) 也就是法向速度超过平衡点足够多，物体在分开。

滑动：介于两者之间。

画在速度空间里（横轴是 $\lvert v_t\rvert$，纵轴是 $v_n - \hat v_n$）：

  v_n − v̂_n
     ↑        ╱
     │ 分离  ╱   斜率 1/μ：v_n − v̂_n = μ‖v_t‖
     │     ╱
     │   ╱
     │ ╱       滑动
─────┼────────────────→ ‖v_t‖
     │╲
     │ 粘滞（一条极窄的楔形，斜率 1/μ̂，几乎贴着纵轴）
     ↓

两个空间对照：

这两个图是对偶的：冲量空间里的摩擦锥，对应速度空间里的”分离锥”。

分离条件 $v_n - \hat v_n \ge \mu\lvert v_t\rvert$ 还再次暴露了前面说的 gliding 伪影：滑得越快，物体需要更大的法向速度才算”分离”。这正是法向和切向在投影里耦合的结果。